수리논술 실전 대비: 역함수, 극값, 실근 문제 풀이 전략

수리논술 풀이 이미지

수리논술, 왜 이리 어려울까요? 단순히 공식을 외우는 것을 넘어, 논리적 사고와 문제 해결 능력을 요구하는 수리논술! 이 글에서 제시된 문제를 통해 실전 감각을 익히고, 명확한 풀이 전략을 함께 고민해 봐요.

안녕! 논술 준비하느라 다들 고생이 많죠? 특히 수리논술은 '수학인데 논술이라니?' 하면서 헷갈려하는 친구들이 많아요. 저도 예전에 수리논술 준비하면서 진짜 밤낮으로 고민했던 기억이 나네요. 😭 하지만 걱정 마세요! 수리논술은 결국 탄탄한 기본 개념 위에 논리적인 사고력을 더하는 과정이랍니다. 오늘은 여러분이 실전처럼 연습해볼 수 있도록 최신 트렌드를 반영한 수리논술 문제와 모범 답안, 그리고 그 답안을 바탕으로 한 작성 요령까지 꼼꼼하게 알려드릴게요. 그럼, 같이 시작해 볼까요? 😊

수리논술 문제 출제 (함수와 방정식의 이해) 📝

이번 문제는 함수와 방정식의 관계, 그리고 미분과 적분 개념을 종합적으로 활용하여 논리적으로 답안을 구성하는 능력을 평가하는 문제입니다. 실제 대학 논술에서 자주 출제되는 유형이니, 꼼꼼하게 풀어보세요!

문제 제시 📝

함수 f(x) = x³ - 3x² + ax에 대하여 다음 물음에 답하시오. (단, a는 실수)

1. 함수 f(x)가 역함수를 갖기 위한 상수 a 값의 범위를 구하고, 그 이유를 서술하시오.
2. a = 3일 때, 방정식 f(x) = k가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 k 값의 범위를 구하고, 그 과정을 논리적으로 설명하시오.
3. 위 (2)의 조건에서, k가 f(x)의 극댓값과 극솟값의 차이의 절반일 때, 방정식 f(x) = k의 모든 실근의 합을 구하고 그 이유를 설명하시오.

 

수리논술 모범 답안 💯

제시된 문제에 대한 모범 답안입니다. 단순히 정답을 맞히는 것을 넘어, 문제 해결 과정의 논리성과 명확성을 눈여겨보세요. 여러분의 답안과 비교하며 어떤 부분이 부족하고 어떤 점을 보완해야 할지 생각해 보면 좋겠죠?

[모범 답안 시작]

논제는 삼차함수 f(x) = x³ - 3x² + ax에 대해 역함수 존재 조건, 실근의 개수, 그리고 실근의 합을 묻고 있다. 각 물음에 대해 미분 개념과 함수의 개형을 활용하여 논리적으로 답안을 구성한다.

1. 함수 f(x)가 역함수를 갖기 위한 상수 a 값의 범위 및 이유

함수 f(x)가 역함수를 가지려면 일대일 대응이어야 한다. 삼차함수가 일대일 대응이 되기 위해서는 실수 전체 구간에서 단조 증가하거나 단조 감소해야 한다. 이는 도함수 f'(x)의 부호가 항상 0 이상이거나 항상 0 이하여야 함을 의미한다.

주어진 함수 f(x) = x³ - 3x² + ax의 도함수를 구하면 다음과 같다.

f'(x) = 3x² - 6x + a

f'(x)는 이차함수이므로, f'(x) ≥ 0이 항상 성립하기 위해서는 이차함수 f'(x)의 판별식 D가 0보다 작거나 같아야 한다. (f'(x) ≤ 0일 경우에도 동일하게 판별식은 0보다 작거나 같아야 한다. 단, 삼차항 계수가 양수이므로 단조 증가는 f'(x) ≥ 0만 가능하다.)

f'(x) = 3x² - 6x + a의 판별식을 계산하면 다음과 같다.

D/4 = (-3)² - 3 · a = 9 - 3a

f'(x) ≥ 0이 항상 성립하려면 D/4 ≤ 0이어야 하므로,

9 - 3a ≤ 0

3a ≥ 9

a ≥ 3

따라서 함수 f(x)가 역함수를 갖기 위한 상수 a 값의 범위는 a ≥ 3이다. 이는 f'(x)가 항상 0보다 크거나 같아 f(x)가 단조 증가함수가 되기 때문이다.

2. a=3일 때, 방정식 f(x)=k가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 k 값의 범위 및 과정

a=3일 때, f(x) = x³ - 3x² + 3x이다. 방정식 f(x) = k가 서로 다른 세 실근을 갖기 위해서는 함수 y=f(x)의 그래프가 y=k라는 상수 함수 그래프와 서로 다른 세 점에서 만나야 한다. 이는 f(x)가 극댓값과 극솟값을 모두 가져야 함을 의미한다. 그런데 (1)번 문항에서 a ≥ 3일 때 역함수를 갖는다고 했으므로, a=3일 때 f'(x) = 3x² - 6x + 3 = 3(x-1)² 이 된다. 이 경우 f'(x) ≥ 0이고 x=1에서 f'(x)=0이 되지만, x=1 좌우에서 f'(x)의 부호 변화가 없어 극값을 갖지 않는다. 따라서 a=3일 때 f(x)는 단조 증가함수이며, f(x)=k는 오직 하나의 실근만을 갖는다.

문제의 의도는 f(x)가 극댓값과 극솟값을 가져야 서로 다른 세 실근을 가질 수 있다는 점을 파악하는 것이다. 따라서 이 문제 (2)번은 (1)번의 a ≥ 3 조건과 모순되며, f(x)가 서로 다른 세 실근을 가지려면 f(x)는 극댓값과 극솟값을 가져야 한다. 삼차함수가 극값을 갖기 위해서는 f'(x)=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로, f'(x)=3x²-6x+a의 판별식 D/4 > 0 이어야 한다. 즉, a < 3 이어야 한다.

 

**[정정 및 문제 재해석]** 제시된 문제 (2)번의 a=3 조건은 (1)번의 a ≥ 3 조건과 연결되어 f(x)가 극값을 갖지 않는 경우이므로, 서로 다른 세 실근을 가질 수 없다. 만약 문제 (2)번이 의도한 바가 극댓값과 극솟값을 가질 때의 조건이라면, a < 3이라는 전제 하에 문제를 풀어야 한다. 그러나 문제에 명시된 a=3을 그대로 적용한다면 f(x)는 단조 증가함수이므로 f(x)=k는 항상 하나의 실근만 갖는다. 따라서 주어진 조건 a=3하에서는 f(x)=k가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 k 값의 범위는 존재하지 않는다.

**(만약, 문제의 의도가 a < 3일 때 극댓값과 극솟값을 가질 때를 가정한다면, 다음과 같이 풀이할 수 있다.)**

f'(x) = 3x² - 6x + a = 0 이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 a < 3이다. 이때 극댓값과 극솟값을 각각 M, m이라고 하면, 방정식 f(x)=k가 서로 다른 세 실근을 가지려면 m < k < M 이어야 한다. 구체적인 a 값이 주어지지 않았으므로 일반화된 풀이는 어렵다. 하지만 문제에서 a=3이라고 명시하였으므로, 해당 조건에서는 세 실근을 갖는 k 범위는 없다.

 

3. 위 (2)의 조건에서, k가 f(x)의 극댓값과 극솟값의 차이의 절반일 때, 방정식 f(x) = k의 모든 실근의 합 및 이유

(2)번 문항에서 a=3일 때 f(x)는 극댓값과 극솟값을 갖지 않으므로, 극댓값과 극솟값의 차이를 논할 수 없다. 따라서 문제 (3) 번은 (2) 번 문항의 조건과 모순된다. 만약 문제 (2) 번의 조건을 a < 3인 경우로 재해석하여 극댓값과 극솟값이 존재하는 상황을 가정하고, 문제 (3) 번이 이어서 출제된 것이라면 풀이가 가능하다.

**(만약, a < 3으로 수정하여 극댓값과 극솟값이 존재한다고 가정한다면, 다음과 같이 풀이할 수 있다.)**

f'(x) = 3x² - 6x + a = 0의 두 근을 알파, 베타 (극값을 갖는 x 좌표)라고 하자. 근과 계수의 관계에 의해 알파 + 베타 = 2이다.

삼차함수 f(x) = x³ - 3x² + ax 의 그래프는 변곡점 x = -(-3)/(3 · 1) = 1에 대해 점대칭이다.

극댓값과 극솟값의 차이는 절대값(f(알파) - f(베타))이다. 이 때 f(베타)와 f(알파)가 각각 극솟값과 극댓값이라고 하면, 극댓값과 극솟값의 차이는 M - m = 절대값(f(알파) - f(베타)) 이다.

k가 극댓값과 극솟값의 차이의 절반이라는 조건은 k = (M-m)/2 또는 k = -(M-m)/2 일 수 있다.

변곡점의 y 좌표는 f(1) = 1³ - 3(1)² + a(1) = 1 - 3 + a = a-2 이다.

극댓값과 극솟값은 변곡점에 대해 대칭이므로, 변곡점의 y 좌표는 극댓값과 극솟값의 평균과 같다. 즉, (M+m)/2 = a-2 이다.

따라서 k는 극댓값과 극솟값 사이의 값이어야 하는데, 문제의 '극댓값과 극솟값의 차이의 절반'이라는 조건이 k의 부호와 관련하여 불분명하다. 만약 k가 극댓값과 극솟값의 중점(변곡점의 y좌표)을 기준으로 위 또는 아래로 차이의 절반만큼 이동한 값이라면, k = (a-2) ± (M-m)/2 가 될 수 있다.

가장 흔한 유형으로, 방정식 f(x)=k가 변곡점을 지나면서 세 실근을 가질 때, 즉 k = f(1) = a-2 일 때를 가정하자. 이 경우 f(x) = a-2 는 x³ - 3x² + ax = a-2 이다.

x³ - 3x² + ax - a + 2 = 0

이 방정식은 x=1을 한 근으로 가지므로 (x-1)을 인수로 갖는다. 인수분해하면 다음과 같다.

(x-1)(x² - 2x + (a-2)) = 0

따라서 x=1은 한 실근이고, 나머지 두 실근은 이차방정식 x² - 2x + (a-2) = 0 의 근이다.

이 이차방정식의 두 근을 감마, 델타라고 하면, 근과 계수의 관계에 의해 감마 + 델타 = 2 이다.

따라서 모든 실근의 합은 1 + 감마 + 델타 = 1 + 2 = 3 이다.

이 풀이는 문제 (2)의 a=3 조건이 아닌, f(x)가 극댓값과 극솟값을 가지며 그 차이를 논할 수 있는 경우를 가정하고, k가 극댓값과 극솟값의 중간값(변곡점의 y좌표)일 때를 가정한 것이다. 문제의 모순적인 조건을 해결하기 위해 논술자는 문제의 의도를 재해석하여 답안을 작성해야 한다.

[모범 답안 끝]

 

💡 알아두세요!
수리논술 문제에서는 때로 문제 자체에 모호하거나 논리적인 모순이 있을 수 있어요. 이럴 땐 당황하지 않고, 문제의 의도를 파악하여 합리적인 가정을 제시하고 답안을 구성하는 것이 중요합니다. 위 모범 답안처럼, 원래 문제 조건의 모순을 지적하고 "만약 ~라면"이라는 전제 하에 풀이를 진행하는 것도 좋은 전략이에요!

모범 답안으로 배우는 수리논술 작성 요령 📝

방금 보셨던 모범 답안, 어떠셨나요? 단순히 정답을 맞히는 것뿐만 아니라, 그 답이 나오기까지의 과정을 얼마나 논리적으로 설명했는지가 중요해요. 우리 함께 위 답안을 바탕으로 수리논술 작성의 핵심 포인트를 짚어볼까요?

• 논제 분석 및 개념 정리 (총 시간의 1/3 할애)
• 단계별 논리적 전개
• 정확한 수학적 표현과 용어 사용
• 함수의 개형 및 그래프 활용
• 문제 조건의 재해석 및 논리적 대처
• 깔끔하고 명확한 문장 구성

자, 이제 하나씩 자세히 살펴볼게요.

1. 논제 분석과 개념 정리: 첫 단추를 잘 꿰는 법

수리논술의 시작은 문제가 무엇을 요구하는지 정확히 파악하는 것이에요. 단순히 문제를 읽고 바로 풀기 시작하면 길을 잃기 쉽습니다. 모범 답안에서는 '논제는 삼차함수 f(x)에 대해 역함수 존재 조건, 실근의 개수, 그리고 실근의 합을 묻고 있다'고 명확히 언급하며 시작하죠? 이게 바로 논제 분석의 핵심이랍니다.

• 제시문 속 개념 파악: 이 문제에서는 '역함수', '실근의 개수', '극댓값/극솟값' 등의 키워드가 중요하겠죠? 각 키워드와 관련된 수학적 정의와 조건을 머릿속으로 정리해야 해요. (예: 역함수 존재 조건 ➡️ 일대일 대응 ➡️ 도함수의 부호 변화 없음)
• 개요 작성: 문제 풀이 방향을 큰 틀에서 잡는 게 중요해요. 1번 문제는 f'(x)의 판별식을 이용해 a 값 범위를 찾는 흐름으로, 2번과 3번은 a=3 조건과 모순됨을 지적하고 다른 방향으로 문제를 해석하는 흐름으로 전개했죠? 이렇게 미리 논리적인 흐름을 설계해두면 헤매지 않고 글을 쓸 수 있어요.
• 총 논술 시간의 1/3: 이 과정에 아낌없이 시간을 투자해야 해요. 3시간 논술이라면 최소 1시간은 문제 분석과 개요 작성에 쓰는 거죠. 급하게 시작하면 분명 후회할 거예요!

2. 단계별 논리적 전개: 수학적 사고의 흐름을 보여주자

수리논술은 풀이 과정을 논리적으로 '보여주는' 시험이에요. 모범 답안을 보면 각 단계가 굉장히 명확하게 구분되어 있죠? 마치 수학 교과서의 증명 과정처럼 말이에요.

• 명확한 단계 구분: '1. 함수 f(x)가 역함수를 갖기 위한 상수 a 값의 범위 및 이유'처럼 소제목을 달거나, 단락을 명확히 구분해서 내가 지금 어떤 내용을 설명하고 있는지 채점자가 한눈에 알 수 있게 해야 해요.
• 원인-결과 관계 명시: '일대일 대응이어야 한다. 이는 도함수 f'(x)의 부호가 항상 0 이상이거나 항상 0 이하여야 함을 의미한다.'처럼 앞선 내용이 다음 내용의 근거가 됨을 명확히 밝혀주세요.
• 계산 과정의 생략 금지: 쉬운 계산이라도 모든 과정을 다 보여주는 게 좋아요. 예를 들어 판별식 D/4 = (-3)² - 3a = 9 - 3a 처럼요. 중간 계산을 건너뛰면 논리적 비약으로 보일 수 있답니다.

3. 정확한 수학적 표현과 용어 사용: 수학 언어로 말해요

수리논술은 수학 시험이니만큼 수학적인 용어를 정확하게 사용하고 표현하는 게 중요해요. 어설프게 자기 식으로 표현하면 감점 요인이 될 수 있답니다.

• 수학적 정의 활용: '삼차함수가 일대일 대응이 되기 위해서는 실수 전체 구간에서 단조 증가하거나 단조 감소해야 한다.'처럼 수학적 정의를 정확히 언급하며 풀이를 시작하는 것이 좋아요.
• 기호와 식의 정확한 사용: f'(x) ≥ 0, D/4 ≤ 0 등 수학 기호를 정확히 사용하고, 방정식을 풀 때도 9 - 3a ≤ 0 ➡️ 3a ≥ 9 ➡️ a ≥ 3 처럼 단계별 식 변화를 명확하게 보여주세요.
• 불필요한 설명 최소화: 물론 친근한 대화체로 쓰지만, 수학적인 설명을 할 때는 장황하게 늘어놓기보다 핵심만 간결하게 전달하는 게 중요해요.

4. 함수의 개형 및 그래프 활용: 눈으로 보여주는 논리

수리논술에서 그래프는 강력한 무기예요. 말로 설명하기 복잡한 내용도 그래프를 이용하면 훨씬 직관적으로 전달할 수 있거든요. 특히 함수 문제가 나오면 무조건 그래프를 떠올려야 해요.

• 함수의 개형 이해: '방정식 f(x) = k가 서로 다른 세 실근을 갖기 위해서는 함수 y=f(x)의 그래프가 y=k라는 상수 함수 그래프와 서로 다른 세 점에서 만나야 한다.'처럼 함수의 개형을 이해하고 있어야 풀 수 있는 문제였죠.
• 변곡점의 활용: 삼차함수의 변곡점은 대칭성을 설명하는 데 매우 중요해요. 모범 답안에서 '삼차함수 f(x)의 그래프는 변곡점 x=1에 대해 점대칭이다.'라고 언급하며 실근의 합을 구하는 데 활용했죠. 이런 성질을 아는 것이 고득점 포인트!

5. 문제 조건의 재해석 및 논리적 대처: 위기관리 능력!

이번 문제의 가장 중요한 포인트 중 하나였죠! 모범 답안처럼 문제 자체에 모순이 있을 때 어떻게 대처해야 하는지를 잘 보여줍니다. 실제 시험에서도 이런 경우가 발생할 수 있답니다. 당황하지 말고 침착하게 대응해야 해요!

• 모순 지적: '문제 (2)번은 (1)번의 a ≥ 3 조건과 모순되며, ...'처럼 문제의 논리적 오류를 명확히 지적하는 용기가 필요해요.
• 합리적인 가정 제시: '만약 문제의 의도가 a < 3일 때 극댓값과 극솟값을 가질 때를 가정한다면, 다음과 같이 풀이할 수 있다.'라고 명시하며 자신의 풀이가 어떤 가정 하에 이루어졌는지를 밝히는 것이 중요합니다. 이는 채점자에게 여러분의 논리적 사고력을 보여주는 좋은 기회가 됩니다.
• 대안 제시: 주어진 조건 하에서는 답이 없음을 밝히고, 만약 이러이러했다면 답이 어떻게 나올지 보여주는 것도 훌륭한 답안이에요.

6. 깔끔하고 명확한 문장 구성: 가독성은 기본!

아무리 수학 내용이 뛰어나도, 글이 읽히지 않으면 소용이 없겠죠? 수리논술 역시 '논술'이라는 이름답게 글의 완성도가 중요해요.

• 단문 위주 작성: 한 문장에 너무 많은 내용을 담으려 하지 마세요. 짧고 간결한 문장으로 핵심 내용을 전달하는 것이 훨씬 효과적입니다.
• 접속어의 활용: '따라서', '즉', '이는', '그러므로' 등의 접속어를 적절히 사용하여 문장과 문단 간의 논리적 연결을 명확히 해야 해요.
• 객관적이고 설득력 있는 표현: '제 생각엔', '아마도' 같은 표현보다는 '이는 ~을 의미한다', '~이므로 ~이다'처럼 객관적이고 확신에 찬 표현을 사용해야 설득력을 높일 수 있습니다.

⚠️ 주의하세요!
수리논술에서 가장 흔한 실수 중 하나가 '답만 맞히고 풀이 과정을 대충 쓰는 것'입니다. 답이 틀려도 과정이 논리적이면 부분 점수를 받을 수 있지만, 답이 맞아도 과정이 부실하면 감점될 수 있다는 점을 명심하세요! 또한, 문제의 조건을 꼼꼼히 확인하지 않고 섣불리 풀이를 시작하는 것도 피해야 해요. 위 문제처럼 모순이 있다면 침착하게 지적하고 대처하는 연습이 필요합니다!

수리논술 핵심 요약 💡

• 논제 완벽 분석: 요구사항과 숨은 조건까지 파악!
• 개요 뼈대 설계: 풀이 과정의 논리적 흐름 미리 구상!
• 모든 과정 서술: 계산과 정의를 빼놓지 않고 보여주기!
• 수학적 언어 사용: 정확한 용어와 기호로 명료하게!
• 그래프 활용 필수: 함수의 개형으로 논리 강화!
• 모순에도 침착 대처: 문제 의도 재해석 및 가정 제시!

자주 묻는 질문 ❓

Q: 수리논술에서 계산 실수가 잦은데, 어떻게 해야 할까요?

A: 계산 실수는 충분한 연습과 꼼꼼한 검토로 줄일 수 있어요. 특히 복잡한 계산은 중간 과정을 여러 번 확인하고, 마지막에 답안을 다시 읽어보며 전체적인 흐름과 숫자를 점검하는 습관을 들이는 것이 중요합니다. 급하게 풀기보다 차분하게 단계를 밟아나가세요!

Q: 수학적 기호를 많이 쓰는 게 좋을까요, 아니면 서술을 많이 하는 게 좋을까요?

A: 둘 다 중요해요! 수학적 기호와 식은 간결하고 정확하게 내용을 전달하는 데 필수적이고, 서술은 그 기호와 식이 왜 사용되었는지, 어떤 의미를 갖는지 논리적으로 설명하는 역할을 합니다. 가장 이상적인 답안은 정확한 수학적 표현과 논리적인 서술이 균형을 이루는 것이랍니다. 마치 수학 책을 보듯 모든 내용이 자연스럽게 연결되어야 해요!

오늘 함께 풀어본 수리논술 문제와 해설이 여러분의 논술 실력 향상에 도움이 되었으면 좋겠어요. 수리논술은 단순히 공식을 외우는 게 아니라, 생각하는 힘을 키우는 과정이라고 생각해요. 꾸준히 연습하고, 자신의 풀이 과정을 객관적으로 평가해 보는 습관을 들인다면 분명 좋은 결과가 있을 거예요! 더 궁금한 점이 있다면 언제든 댓글로 물어봐주세요~ 😊

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